تعريف وتوضيح:

 

 

المثال الأول: الأعداد الصحيحة:

من أشهر الأمثلة على الزمر مجموعة الأعداد الصحيحة Z، وهي تتكون من الأعداد التالية:

..., 4, 3, 2, 1, 0, 1-, 2-, 3-, 4- , ... إلى جانب عملية الجمع.

الخصائص التالية لعملية جمع الأعداد الصحيحة هي نموذج للبديهيات المجردة للزمر.

1. مجموع عددين صحيحين هو عدد صحيح. ولا يمكن نهائيا أن يكون مجموع عددين صحيحين عددًا غير صحيح. تعرف هاته الخاصية باسم الانغلاق بالنسبة للجمع.
2. بالنسبة لثلاثة أعداد a و b و c، فإن (a + b) + c = a + (b + c). أي أنه إذا جُمعت a و b أولًا، ثم أُضيفت c، فسيُحصل على نفس النتيجة إذا ما جمعت a مع حاصل مجموع b و c. تعرف هاته الخاصية باسم التجميعية.
3. إذا كان a عددًا صحيحًا، فإن a + 0 = 0 + a = a. الصفر يسمى عنصرا محايدا.
4. لكل عدد صحيح a، يوجد عدد صحيح b حيث a + b = b + a = 0. العدد الصحيح b يسمى العنصر المعاكس للعدد a ويُكتب a-.

وتشكل زمرة الأعداد الصحيحة مع عملية الجمع كائنًا رياضيًّا ينتمي إلى تصنيف واسع من الكائنات الأخرى تشاركه خصائصه البنيوية. وقد طُور التعريف المجرد التالي لفهم هذه البنى فهمًا شاملًا.

تعريف

بديهيات الزمر قصيرة وطبيعية... ومع ذلك وبطريقة ما يوجد وراء هذه البديهيات ما يُعرف بزمرة الوحش البسيطة، وهو كائن رياضياتي ضخم وغريب من الواضح أن وجودها يعتمد على العديد من المصادفات الغريبة. لا تعطي بديهيات الزمر أي إشارة واضحة لوجود مثل هذه الأشياء.

ريتشارد بورشردس (2009, مذكور في كتاب Group theoryلجيمس مالين، )

الزمرة هي مجموعة مزودة بعملية ثنائية يرمز لها بالرمز وتسمى قانون الزمرة للمجموعة أو عملية المجموعة، تربط كل عنصرين اثنين و من عناصرها بعنصر ثالث ينتمي إلى نفس الزمرة . توجد عدة طرق للتعبير عن عملية الزمرة كتابةً، منها أو ، وفي الزمر الأبيلية غالبًا ما تُكتب ، وتُستخدم طرق أخرى للتعبير عن عمليات الزمر مثل أو . وكل من المجموعة والعملية يحققان البديهيات التالية:

الانغلاق:

لكل عنصرين ، من عناصر يكون ناتج العملية منتميًا أيضًا إلى .

التجميعية:

لكل ثلاثة عناصر و و من يكون ، أي أن ناتج تركيب العناصر الثلاثة لا يتأثر بتغير موضع الأقواس، مما يسمح بكتابة الناتج في صورة بدون أقواس.

وجود العنصر المحايد:

يوجد عنصر يحقق المعادلة لكل ، ويسمى هذا العنصر العنصر المحايد. وهو عنصر وحيد؛ فلا يوجد أكثر من عنصر محايد واحد في الزمرة.

وجود العنصر المعاكس:

يوجد لكل عنصر من عناصر يوجد عنصر من بحيث حيث هو العنصر المحايد، أي أن تركيب هذين العنصرين بأي ترتيب يساوي العنصر المحايد . يُسمي العنصر العنصر المعاكس للعنصر ورمزه . ومن الواضح أن العنصر المحايد واحد فقط في الزمرة، وأن العنصر المعاكس للعنصر محدد بوضوح.

هذا وقد يتغير ناتج العملية بتغير ترتيب أطرافها، وبعبارة أخرى فإن ناتج دمج العنصر مع العنصر ليس بالضرورة أن يساوي ناتج دمج العنصر مع العنصر ، فهذه المعادلة:

قد لا تكون صحيحة دائمًا. تتحقق هذه المعادلة دائمًا في زمرة الأعداد الصحيحة بالنسبة لعملية الجمع؛ وهذا لأن لأي عددين صحيحين (إبدالية الجمع). ويطلق على الزمر التي تحقق دومًا المعادلة الزمر الأبيلية (تخليدًا لنيلس أبيل). وتعد زمرة التماثل مثالًا للزمر غير الأبيلية.

كثيرًا ما يُكتب العنصر المحايد أو ، وهذا الرمز مأخوذ من المحايد الضربي. كما قد يُكتب العنصر المحايد خاصة إذا رُمز لعملية الزمرة بـ، وتسمى الزمرة في هذه الحالة زمرة جمعية. وقد يُكتب العنصر المحايد أيضًا .

المثال الثاني: زمرة التماثل

يتطابق الشكلان في في نفس المستوى إذا أمكن أن يحوَّل أحدهما إلى الآخر باستخدام مزيج من الدورانات والانعكاسات والانزلاقات. يتطابق كل شكل بديهيًّا مع نفسه. ومع ذلك فإن بعض الأشكال تتطابق مع نفسها بعدة طرق. تسمى هذه التطابقات الإضافية التماثلات. للمربع ثمانية تماثلات، كما توضح تلك الصور:

id(بترك كل عنصر على حاله)	r1 (بالدوران 90° يمينًا)	r2 (بالدوران 180° يمينًا)	r3 (بالدوران 270° يمينًا)
fv (بالانعكاس عموديًّا)	fh (بالانعكاس أفقيًّا)	fd (بالانعكاس القطري)	fc (بالانعكاس القطري المعاكس)
عناصر زمرة التماثل للمربع (D4). لُونت ورُقمت رؤوس المربع فقط من أجل توضيح العملية.

• العملية المحايدة تحفظ الشكل من التغيير كما في الشكل id.
• دوران المربع حول مركزه بزوايا 90° يمينًا و 180° يمينًا، 270° يمينًا ينتج عنه الأشكال r₁ و r₂ و r₃ على الترتيب.
• الانعكاس عبر المحورين العمودي والأفقي يعطي الشكلين f_h و f_v، والانعكاس عبر القطرين يعطي f_d و f_c.

تنتج هذه التماثلات عن مجموعة من الدوال، يقوم كل منها بإرسال نقطة في المربع إلى النقطة المناظرة لها في إطار التماثل. على سبيل المثال، في الشكل r₁ ترسل الدالة كل نقطة إلى صورتها بالدوران 90° يمينًا حول مركز المربع، أما في الشكل f_h فترسل كل نقطة إلى انعكاسها عبر محور المربع العمودي، وتركيب اثنتين من دوال التماثل الموجودة في الأشكال أعلاه يعطي دالة تماثل أخرى. هذه التماثلات ترسم حدود زمرة تسمى الزمرة الزوجية وهي من الدرجة 4 ورمزها D₄، ومجموعة تلك الزمرة هي تلك المجموعة من دوال التماثل، وعمليتها هي تركيب الدوال. يمكن الجمع بين اثنين من التماثلات من خلال تركيب دالتيهما، بمعنى تطبيق الدالة الأولي على المربع، ومن ثم تطبيق الدالة الثانية على نتيجة الدالة الأولى. تُكتب نتيجة تطبيق الدالة الأولى a ثم الدالة الثانية b رمزيًّا من اليمين إلى اليسار كالتالي:

(الترميز من اليمين إلى اليسار هو نفسه المتبع عند تركيب الدوال).

يعدد جدول الزمرة على اليسار نتائج جميع هذه التراكيب الممكنة. على سبيل المثال، بالدوران بزاوية 270° يمينًا (r₃) ثم قلب الناتج أفقيًّا (f_h) نحصل على نفس الناتج الذي نحصل عليه بالانعكاس القطري (f_d). بالاستعانة بالجدول نستنتج أن:

جدول زمرة D₄

•	id	r1	r2	r3	fv	fh	fd	fc
id	id	r1	r2	r3	fv	fh	fd	fc
r1	r1	r2	r3	id	fc	fd	fv	fh
r2	r2	r3	id	r1	fh	fv	fc	fd
r3	r3	id	r1	r2	fd	fc	fh	fv
fv	fv	fd	fh	fc	id	r2	r1	r3
fh	fh	fc	fv	fd	r2	id	r3	r1
fd	fd	fh	fc	fv	r3	r1	id	r2
fc	fc	fv	fd	fh	r1	r3	r2	id
تشكل العناصر id و r1 و r2 و r3 زمرة جزئية، تلك المحددة باللون الأحمر في أعلى اليسار. المجموعة المرافقة اليمنى واليسرى لتلك الزمرة الجزئية محددة باللونين الأخضر (في الصف الأخير) والأصفر (العمود الأخير) بالترتيب.

يمكن تطبيق بديهيات الزمر على الزمرة D₄ المعرفة عناصرها وعمليتها في الجدول وحيث كالتالي:

1. تحقيق بديهية الانغلاق يتطلب أن يكُون أي أن يكون تماثلًا أيضًا. هذا مثال أخر على عملية الزمرة اعتمادًا على الجدول في اليسار:

   

   أي أن الدوران بزاوية 270° يمينًا بعد الانعكاس أفقيًّا يساوي الانعكاس القطري العكسي. والمغزى أن أي تركيب لتماثلين يكون تماثلًا آخر من نفس الدرجة، يُمكن التأكد من ذلك بالاستعانة بالجدول في اليسار.
2. تتعامل التجميعية مع العمليات التي يركَّب فيها أكثر من تماثلين. توجد طريقتان نستطيع بها استخدام العناصر a و b و c على الترتيب لتكوين تماثل لمربع: الأولى هي أن يركَّب العنصران a و b في تماثل واحد أولًا، ثم أن يركَّب هذا التماثل مع c. والطريقة الأخرى هي أن يركَّب أولًا b و c، ثم أن يركَّب التماثل الناتج مع a. في حالة التجميعية يكون:

   

   وهذا يعني أن ناتجي هاتين الطريقتين متساويان، أي يمكن تبسيط ناتج تركيب العديد من العناصر في الزمرة بجعلها في شكل تجميعات. فمثلًا ، ويمكن التأكد من هذا باستخدام الجدول في اليسار، فيلاحَظ أن

   ، وهذا يساوي

   .

   ومع أن شرط التجميعية صحيح في حالتي تركيب تماثلات المربع وجمع الأعداد، فهو ليس صحيحًا لكل العمليات؛ فطرح الأعداد مثلُا ليس عملية تجميعية، فمثلًا (7 − 3) − 2 = 2، وهذا لا يساوي 7 − (3 − 2) = 6.
3. العنصر المحايد في الزمرة المعطاة أعلاه هو التماثل id لتركه نقاط الشكل دون تغيير: تأدية id بعد a (أو a بعد id) يساوي التماثل a، وبتعبير رمزي:

   .

4. بالنسبة للزمرة المعطاة يقوم العنصر المعاكس بإبطال التحولات الناتجة عن بعض العناصر الأخرى. كل تماثل في الزمرة المعطاة يمكن إبطاله؛ فكل من التماثل المحايد id والانعكاسات f_h و f_v و f_d و f_c والدوران بزاوية 180° (r2)—كل منهم معكوس لذاته، لأن تأدية أحدهم مرتين يُعيد المربع إلى أصله قبل تأديته. بالإضافة إلى أن كلا الدورانين r₃ و r₁ معكوس للآخر، لأن الدوران 90° ثم إتباعه بدوران 270° (أو العكس بالعكس) يعطي دورانًا بزاوية 360°وينتهي بعدم حدوث تغير في المربع. وبالتعبير الرمزي:

   .

وعلى عكس زمرة الأعداد الصحيحة التي ذُكر عنها في الأعلى أن ترتيب العملية لا يؤثر في الناتج، نجد الناتج يختلف في حالة الزمرة D₄، فمثلًا: لكن . ولذلك فإن الزمرة D₄ غير أبيلية.